# Ref Resumen-La presente investigación tiene como objetivo predecir numericamente los casos de infeción y recuperación de la malaria en la ciudad del Cuito, utilizando ecuaciones diferenciales con los cuales se permita evaluar el comportamiento de las variables que afectan esta enfermedad. Teniendo en cuenta las variables de infección y recuperación, así como las tasas constantes de recuperación, infección y muerte, analizando la conexión entre estas variables así, como sus respectivas proporciones, se ha elegido el modelo endémico SIR que permitió lograr el dicho objetivo. Es-te estudio se basó en datos de un período en el que la disminución de infecciones palúdicas se registra. En ese contexto, se utilizó el método de Runge-Kutta para predecir números de infecciones en los meses de invierno en Angola, utilizando como datos de referencia inicial los de mayo en la ciudad de Cuito, capital de la provincial del Bié, Angola. Los resultados ilustran el poder y utilidad del modelo endémico SIR en los problemas de evoluciones, especialmente los epidemiológicos, bien como la sincronia en las variables. # Issue ersion I V II ( F ) to por Kermark y McKendrick [9], el modelo SIR (Susceptibles-Infectados-Recuperados) para estudios epidemiológicos que también nos puede ayudar, como es obvio en el estudio del comportamiento numérico de las variables que afectan el caracterización de la infección y recuperación de la malaria. La malaria es una enfermedad que predomina en áreas con clima tropical [4] como Angola y especialmente en regiones con saneamiento deficiente. Es una enfermedad infecciosa transmitida por mosquitos [2]. Estábamos interesados en modelar la malaria por el hecho de que es la mayor causa de muerte en Angola y, para presentar una vez más el poder de los modelos SIR que se pueden utilizar en el estudio del comportamiento, no solo de la malaria sino también en otras enfermedades infecciosas y en casos de enfermedades contagiosas. Como el modelo SIR es EDO, entonces se eligió el método de Runge-Kutta de cuarto orden para presentar la demostración e implementación computacional y la consecuente ilustración gráfica y numérica del comportamiento de la enfermedad referida. obviamente, se puede utilizar cualquier otro método que nos permita resolver EDO [5], [7] y [3], pero como solo tuvimos que utilizar uno en este trabajo, elegimos el método sencillo y eficiente en sus resultados. Para comprender el comportamiento numérico de la malaria en un intervalo de tiempo determinado, se decidió utilizar el modelo SIR(Susceptibles-Infectados-Recuperados), que es modelo epidemiológico clásico. Y como la malaria en Angola es una enfermedad endémica, hemos utilizado el modelo endémico clásico. El modelo endémico clásico es el modelo SIR con dinámica vital que incluye nacimientos y muerte, cuyo sistema de ecuaciones viene dado por[8]: ? ? ? ? ? ? ? dS dt = µP ? µS ? ?IS P , dI dt = ?IS P ? ?I ? µI, dR dt = ?I ? µR,(2.1) Donde S(t)+I(t)+R(t)=P. El modelo SIR (2.1) presentado es casi igual en relación al modelo epidémico SIR que podemos encontrar en [8] la diferencia es que el modelo endémico presenta un flujo de recién nacidos en la clase susceptible a tasa µP y muertes en todas las clases a tasas µS, µI y µR, µ > 0. Dado que las muertes equilibran los nacimientos, entonces el tamaño de la población P es constante. S, denota el número de la población susceptible a la enfermedad, I es el número de infectados y R, el número de recuperados. También disponemos de parámetros ?, µ y ?. Donde ? es la tasa de recuperación, ? es la tasa de infección y µ, la tasa de muertes. Como el estudio se basa en la ciudad de Cuito, suponemos que la población es fija. Como el problema se analiza en un intervalo de tiempo, es necesario establecer un momento inicial de referencia del estudio para que se pueda abarcar la ingeniosidad del análisis hasta un tiempo final. Así, desde esta perspectiva, la ecuación (2.1) tendrá la forma: ? ? ? ? ? ? ? dS dt = µP ? µS ? ?IS P , S(0) = S 0 > 0, dI dt = ?IS P ? ?I ? µI, I(0) = I 0 ? 0, dR dt = ?I ? µR, R(0) = R 0 ? 0,(2.2) En este caso, ahora tenemos un problema de valor inicial (PVI) de ecuación diferencial ordinaria [6] de primer orden. Siendo la ecuación (2.1) un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, puede escribirse como sigue: ? ? ? ? ? ? ? dS dt = f S (t, S, I, R) dI dt = f I (t, S, I, R) dR dt = f R (t, S, I, R) Dado que t es la variable independiente, S, I y R son variables dependientes. Lo cual presupone que en forma vectorial tenemos dY dt = F (t, Y ) Donde Y = S, I, R ó Y = ? ? ? ? S I R ? ? ? ? Ordinary Differential Equations with an Approach in the Numerical Study of Malaria: SIR Model y F (t, Y ) = ? ? ? ? f S (t, S, I, R) f I (t, S, I, R) f R (t, S, I, R) ? ? ? ? Lo que podemos interpretar el problema (2.1) como: III. Forma Matricial Y (t) = ? ? ? ? S(t) I(t) R(t) ? ? ? ? ? Y = ? ? ? ? S I R ? ? ? ? Entonces, podemos escribir: F (t, Y ) = ? ? ? ? µP ? µS ? ?IS/P ?IS/P ? ?I ? µI ?I ? µR ? ? ? ? Y (0) = ? ? ? ? S(0) I(0) R(0) ? ? ? ? La forma matricial presentada, siendo Y el vector de las variables S, I y R, lo que nos lleva a la derivada del vector con respecto al tiempo viene dada por dY dt , lo que lleva a una función vectorial que depende S, I y R pues luego entonces tendremos F (t, Y ) donde t es una variable independiente y el vector Y se queda como variable dependiente en la función vectorial. La investigación se basó en datos proporcionados por el Departamento de Salud Pública de la Oficina Provincial de Salud de Bié, Angola, con los cuales fue posible realizar prediección basada en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, el modelo SIR y,consulta de artículos científicos y libros que abordan este tipo de ecuaciones y métodos con los que se buscan las respectivas soluciones. Una vez modelado el problema y identificado el modelo SIR que mejor se adapta al problema, el clásico modelo SIR endémico, cuyos parámetros muestran la dinámica vital. Para resolver el dicho sistema de ecuaciones que representa el problema se utilizó el método de Runge-Kutta de cuarto orden, el Ordinary Differential Equations with an Approach in the Numerical Study of Malaria: SIR Model cual permitió la implementación computacional del problema. Fue utilizado el lenguaje de programación, Octave, que es un software muy bueno y es compatible con Matlab. La implentación fue teniendo en cuenta lo que sugiere la documentación de la versión 7.2.0 de Octave para ecuaciones diferenciales ordinarias, en la creación del respectivo Script. Como se dice en la introdución, el problema que se presenta tiene como población de estudio a la ciudad de Cuito, Angola. Por ello, nos interesó estudiar el comportamiento numérico de la malaria en la citada ciudad en los meses de cacimbo (mayo, junio, julio y agosto), también conocido como periodo de invierno, ya que en este mismo periodo no llueve y en consecuencia bajan las temperaturas e infecciones de malaria. Así, a través del Departamento de Salud Pública de la Secretaría Provincial de Salud de Bié, habíamos solicitado datos sobre cifras de malaria. Sin embargo, nos proporcionaron la cantidad de personas infectadas con malaria (16448), la cantidad de recuperaciones (15139), la tasa de infección (28 %), la tasa de recuperaciones (92 %) y la tasa de muertes (8 %) para el mes de mayo de 2022. Como dato inicial para poder predecir a través del modelo (2.1), el comportamiento numérico de la malaria en los demás meses de invierno en la ciudad de Cuito. # IV. Métodos # V. Problema Modelado Notes Issue ersion I V II ( F ) Interpretando los datos proporcionados para (2.2), tenemos: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dS dt = 0, 08P ? 0, 08S ? 0, 28IS/P dI dt = 0, 28IS/P ? 0, 92I ? 0, 08I dR dt = 0, 92I ? 0, 08R S(0) = 512706, t ? [0, 4] I(0) = 16448, t ? [0, 4] R(0) = 15139, t ? [0, 4] (5.3) Para resolver este problema podemos utilizar entre varios métodos posibles el de Runge-Kutta de 4º y 2º orden, Euler, Euler Modificado, Euler Mejorado. Pero aquí preferimos usar el método de Runge-Kutta de 4º orden porque es más simple y eficiente. Ordinary Differential Equations with an Approach in the Numerical Study of Malaria: SIR Model Los métodos de Runge-Kutta de orden superior se obtiene de forma similar a los de segundo orden. Los métodos de tercer orden, por ejemplo, tienen la función de incremento ?(x j , y j , h) = ?K 1 + ?K 2 + ?K 3 onde K 1 , K 2 y K 3 se aproximan a las derivadas en varios puntos del intervalo [x 1 , x j+1 ]. Donde la serie de Taylor es fundamental para determinar los parámetros ?, ? y ?. Entre los diversos métodos de Runge-Kutta, el más popular y eficiente es: Y j+1 = Y j + h 6 (K 1 + 2K ? 2 + 2K 3 + K 4 ), j = 0, 1, ..., m ? 1 K 1 = f (x j , y j ) K 2 = f (x j + h 2 , y j + h 2 K 1 ) K 3 = f (x j + h 2 , y j + h 2 K 2 ) K 4 = f (x j + h, y j + hK 3 )(6.4) El método (6.4) es de Runge-Kutta de 4º orden. Los métodos Runge-Kutta son de arranque automático, ya que son de paso uno y no funcionan con derivada de f (x, y) [10]. Con la aplicación del método de Runge-Kutta de 4º orden, se implementó el problema en Octave y resultó en los siguientes datos numéricos: Resultados numéricos de las variables S de la población susceptíble, I de infecciones y R de recuperación de la malaria. Ordinary Differential Equations with an Approach in the Numerical Study of Malaria: SIR Model Los resultados de la tabla son mucho más claros en los gráficos seguientes, ya que ilustran el comportamiento visual de las variables de interés: Gráficos de las variables Población Susceptible a), Infección b) y Recuperación c) de la malaria en invierno en la ciudad Cuito, 2022. Como se puede observar del comportamiento de la recuperación c), se puede notar que existe un crecimiento en la gráfica que en un momento dado hace una inversión lenta y luego desciende, esto se justifica por la tasa alta de recuperación, 92 %, que contrasta con la tasa de infección que es de 28 %, es decir, debido a la redución de infecciones b), la subida de la gráfica de recuperación va disminuyendo. Por otro lado, se nota que la gráfica de infecciones b), desciende en tiempo debido a su tasa relativamente baja. Estas infecciones no dependen de los recuperados, ya que la malaria no es una enfermedad contagiosa y su medicación no ofrece inmunidad, este último critério solo justifica el comportamiento del lento descenso de la gráfica de población susceptible a), los recuperados aparecen y también se convierten en poblacion susceptible. En este caso, se puede verificar en la gráfica seguiente que descienden las infecciones y crecen las recuperaciones hasta mas o menos al mes de Julio y después de eso comienza el descenso: Por lo tanto, el modelo del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizado, modelo endémico SIR, su poder y utilidad en los problemas de evolución, por lo que nos ayuda a realizar experimentos para estudios de ambientes infecciosos, desde el punto de vista sanitario. Por otro lado, el método de Runge-Kutta muestra en su sencillez una eficiencia en los resultados. Y, los resultados del experimento demuestran una dependencia de las recuperaciones en relación a las infecciones, ya que como hemos visto en el comportamiento gráfico de las dos variables, hay un descenso en las recuperaciones porque hay también bajas en las infecciones. # VIII. Conclusión Figura 2: ![1. P. E. Canhanga, Método Galerkin Discontínuo para Ecuación de Lotka-Mckendrick. Tesis de Master, Universidad de Valladolid, 2017.](image-2.png "") ![Differential Equations with an Approach in the Numerical Study of Malaria: SIR Model II. Modelo Endémico Clásico SIR Ref 2. A. P. Gomes, R. R. Vitorino, A. P. Costa, E. G. MendonÇa, M. G.A. Oliveira, R. Siqueira-Batista, Malária grave por plasmodium falciparum, Rev. Bras. Ter. Intensiva 23(3), Set, 2011, https://doi.org/10.1590/s0103-507X2011000300015.](image-3.png "Ordinary") ![Figura 1:](image-4.png "") © 2023 Global Journals * PECanhanga 2017 Método Galerkin Discontínuo para Ecuación de Lotka-Mckendrick. Tesis de Master, Universidad de Valladolid * APGomes RRVitorino APCosta EGMendonça MG AOliveira RSiqueira-Batista 10.1590/s0103-507X2011000300015 Malária grave por plasmodium falciparum 2011 23 Set * Systems solver: an open source tool for mathematically modelling dynamical systems EDominguez FArdila SBustamante Ing. Investig. vol 0120-5609 30 3 Sept./Dec. 2010 * FCrowmn JHealer DMarapana 10.1016/j.cell.2016.07.055 Malária: Biogy and Disease 167 20 october 2016 Cell * New solutions for ordinary differential equations GBluman RDrid 10.1016/j.jsc.2011.08.018 Journal of Symbolic Computation 47 1 january 2012 * Validated solutions of initial value problems for ordinary differential equations NSNedialkova KRJakson GFCorlissb org/10.1016/s0096-3003(98)10083-8 Applied Mathematics and Coputation 105 1 October 1999 * Deep Euler method: Solving ODEs by approximating the local truncation error of the Euler method XShen XCheng KLiang org/10.48550/arXiv.2003.09573 2020. Notes 8. H. W. 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